jueves, 27 de abril de 2023

Unidad IV: Diferenciación e integración numérica

(4) Integración numérica - Regla del trapecio - YouTube

4.1 Diferenciación numérica

El cálculo de la derivada de una función puede ser un proceso "difícil" ya sea por

lo complicado de la definición analítica de la función o por que esta se conoce

únicamente en un número discreto de puntos. (Este es el caso si la función

representa el resultado de algún experimento). En esta lección estudiaremos

técnicas para aproximar las derivadas de una función y veremos el análisis de

error de dichas formulas.

Fórmulas para la primera derivada: La definición de la derivada de una función f(x)

en el punto "x" está dada en términos del límite:

De esta definición podemos decir que si "h" es pequeño entonces:

(Note el símbolo de aproximación). Esto nos da inmediatamente la primera formula

numérica para aproximar la derivada:

Antes de ver algunos ejemplos donde usamos esta fórmula, tratemos de contestar

la pregunta de ¿cuán buena es esta aproximación de la derivada? Por el Teorema

de Taylor sabemos que:

Donde esta entre x y x+h. Si despejamos ahora en esta fórmula por f'(x) y

usamos la definición de tenemos que:

Esta fórmula nos dice que aproxima a f'(x) con un error proporcional a "h", i.e.,

O(h). Formulas para la segunda derivada: El proceso de arriba se puede usar para

obtener fórmulas para las derivadas de orden mayor de uno de una función f(x).

Usamos este proceso para obtener una formula para la segunda derivada. Usando

el Teorema de Taylor, podemos escribir las expansiones:

Sumando estas dos expansiones y despejando para f''(x) obtenemos:

Donde

y esta entre [x-h,x+h]. Tenemos aqui una fomula de orden dos para f"(x).

Diferenciación usando polinomios de interpolación: Suponga que son puntos

distintos y sea pn(x) el polinomio que interpola a f(x) en estos puntos. Entonces

aproximamos f '(x) por:

Suponga que . Se puede demostrar que

Aunque no discutiremos en más detalles este método para aproximar derivadas, si

mencionamos que las dos formulas que discutimos para aproximar f '(x) se pueden

obtener usando polinomios de interpolación de grados uno y dos respectivamente.

4.2 Integración numérica

En análisis numérico la integración numérica constituye una amplia gama de

algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión,

el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver

ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a

cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si

se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más

dimensiones (integral múltiple) también se utiliza.

El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una

solución aproximada a la integral definida:

Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial

para una ecuación diferencial ordinaria, como sigue:

Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados

para ecuaciones diferenciales ordinarias, como el método de Runga-Kutta pueden

ser aplicados al problema reformulado. En este artículo se discuten métodos

desarrollados específicamente para el problema formulado como una integral

definida.

Razones para la integración numérica

Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica. La principal puede

ser la imposibilidad de realizar la integración de forma analítica. Es decir,

integrales que requerirían de un gran conocimiento y manejo de matemática

avanzada pueden ser resueltas de una manera más sencilla mediante métodos

numéricos. Incluso existen funciones integrables pero cuya primitiva no puede ser

calculada, siendo la integración numérica de vital importancia. La solución

analítica de una integral nos arrojaría una solución exacta, mientras que la

solución numérica nos daría una solución aproximada. El error de la aproximación,

que depende del método que se utilice y de qué tan fino sea, puede llegar a ser

tan pequeño que es posible obtener un resultado idéntico a la solución analítica en

las primeras cifras decimales.

4.3 Integración múltiple

Las integrales múltiples se utilizan a menudo en la ingeniería. Por ejemplo,

una ecuación general para calcular el promedio de una función bidimensional

puede escribirse como sigue:

Al numerador se le llama integral doble.

Las técnicas estudiadas en este capítulo (y en el siguiente) se utilizan para

evaluar integrales múltiples. Un ejemplo sencillo seria obtener la integral doble

de una función sobre un área rectangular.

Recuerde del cálculo de dichas integrales se pueden calcular como integrales

iteradas.

Primero se evalúa la integral en una de las dimensiones y el resultado de esta

primera integración se incorpora en la segunda integración.

Una integral numérica doble estará basada en la misma idea. Primero se

aplican métodos, como la regla de Simpson o del trapecio para segmentos

múltiples, a la primera dimensión manteniendo constante los valores de la

segunda dimensión.



4.4 Aplicaciones

Las aplicaciones de la diferenciación e integración numérica de fracciones son muy útiles en diversas áreas, como la física, la ingeniería, la economía, la estadística y la matemática en general. A continuación, se describen algunas de las principales aplicaciones:

  1. Aproximación de funciones: La diferenciación e integración numérica de fracciones se utiliza para aproximar el valor de una función en un punto determinado. Esto es especialmente útil cuando la función es muy complicada o difícil de evaluar analíticamente. En este caso, la aproximación numérica puede ser una herramienta muy útil.
  2. Análisis de datos: En estadística, la diferenciación e integración numérica de fracciones se utiliza para calcular las derivadas y las integrales de las funciones que representan los datos. Estos cálculos pueden proporcionar información importante sobre la distribución de los datos y su comportamiento.
  3. Modelado de sistemas físicos: En la física y la ingeniería, la diferenciación e integración numérica de fracciones se utiliza para modelar el comportamiento de sistemas físicos. Por ejemplo, se puede utilizar para calcular la velocidad y la aceleración de un objeto en movimiento, la tasa de cambio de una temperatura en un sistema termodinámico, o la tasa de cambio de la concentración de una sustancia en una reacción química.

 (4) 32. Diferenciación Numérica, Diferencias finitas hacia delante, atrás y centrada (parte 1) - YouTube



lunes, 24 de abril de 2023

Angulos Internos de figuras Geometricas

 Los angulos internos son angulos formados dentro de un polígono o figura geométrica,  estos angulos se encuentran dentro del área interior del polígono.

 Angulos Internos

Tambien pueden definirse como el ángulo que se forma al intersectar dos semirectas,  de modo que el ángulo interno esta dentro de las rectas.

Si los angulos internos de un polígono son menores a 180 grados sexagesimales se clasifican como polígonos convexos, si el polígono tiene al menos un ángulo superior a 180 grados entonces se trata de un polígono cóncavo.

 

Propiedades de los angulos internos

-La suma del ángulo interno y externo en el mismo vértice es 180 grados.

Angulos Internos 2

 

 

 

 

 

 

-La suma de los angulos internos de un polígono simple esta dada por la formula 180(n-2) en la cual n es igual al número de lados.
Por ejemplo:
*Triangulo  180(3-2) = 180(1) = 180
*Cuadrado:  180(4-2) = 180(2) = 360
*Pentágono:  180(5-2) = 180(3) = 540
*Hexágono:  180(6-2) = 180(4) = 720
Podemos hacer una tabla como esta:

Figura
Lados
Suma de los angulos internos
Ángulo interno
´Triangulo
3
180°
60°
Cuadrado
4
360°
90°
Pentagono
5
540°
108°
Hexagono
6
720°
120°
Heptagono
7
900°
128.57142…..°
Cualquier Poligono
n
180(n-2)
180(n-2)/n

Podemos notar que cada vez que se aumenta un lado la suma de los angulos internos aumenta en 180. A esa cantidad la dividimos entre el numero de lados y obtenemos la medida su ángulo interno.

Asi tenemos la regla:

Suma de los angulos internos  =  (n-2) x 180°

Medida del ángulo interno de un poligono regular  = (n-2) x 180° / n

 

codigo palindromo

 package quesito; import java.util.Scanner; public class PalindromoChecker {     public static void main(String[] args) {         // Variabl...